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切应力互等定理适用哪些情况(切应力互等定律及应力状态分类)

100次浏览     发布时间:2024-09-13 10:01:41    

首先我们来介绍一个材料力学中的定律叫做 :切应力互等定律。

如图1构件中取任意一点(一个单元体)最一般状态下的应力状态。因为这个单元体是平衡状态,所以做用在这个单元体上的力和力矩满足静力学平衡方程,其中的一个方程就是所有的内力对z轴取矩的和为0;即:


图1

单元体是一个微小的六面体。因为这个六面体各个棱边都是趋近于0的,我们可以认为这个六面体的六个面各个面上的应力是均匀分布的,是相等的。比如我们现在研究x面(法线为x轴的面),这个面上的切应力Tor xy对应的面的内力的合力是多少呢?我们从应力的定义逆推,可知道,此内力可以通过切应力Tor xy乘以这个截面的面积来求出。

我们来具体分析,发现,和z轴平行以及所有过z轴的应力所对应的内力在这个面上的合力对Z轴的力矩都等于0,我们发现只有Tor xy和Tor yx 对于Z轴有扭矩的作用。如下式子:

(1式)

我们解释以下这个式子,第一项就是力乘以力臂:即切应力对应的面的内力的合力(用Tor xy乘以对应的截面面积得到)乘以此合力的作用线到Z轴的距离dx/2,前边乘以2的原因就是在和x面正方向相反的负方向上切应力Tor xy与此Tor xy大小相等方向相反.根据右手定则可知,此应力对应的内力的合力对于所对应的力矩方向和前者相同,同为正,且此合力的大小以及力臂的长度均不变,所以乘以2;

第二项就是这个Tor yx,根据右手定律我们可以看出,此应力对应的内力的合力对于Z轴产生的力矩和第一项中的 Tor xy产生的是方向相反的。所以第二项前的符号为负,同理,由于在y轴的负方向还有另一个y面上的应力Tor yx 与此Tor yx 大小相等,方向相反,且对于z轴的作用效果相同。则前面同样乘以2.

我们对于1式,化简可以得到:

同样的道理,根据对于y轴和x轴取矩的和力矩为0;我们会得到:


至此,我们便得到了切应力互等定律。用文字描述便是:在受力构件内过一点相互垂直的两个微面上,垂直于两微面交线的切应力大小相等,方向相向或相背。这一规律称为切应力互等定律。 有的时候也会这么说:过构件上一点互相正交的两个微面上的切应力成对出现。

接下来我们来讨论下应力的状态:

第一种,最复杂最一般的状态为:三向应力状态,如下图2

图2

有了上面的切应力互等定律,我们知道这6个分量是两两相等的,则上篇文章提过的单元体应力的九个分量中独立的只有6个。这种应力状态是空间内三维的问题。

第二种:二向应力状态,这个是一个平面的二维的问题。如下图3.

图3


第三种:单向应力状态,这是一个线段上的一维的问题,如图4。


图4

第四种:纯切应力状态,也是属于二向应力状态下的问题,但是没有正应力,只有切应力,如图5。

图5

材料力学中所有的应力状态跳不出这4种。对于实际问题我们需要具体问题具体分析,总可以在这四种应力状态中找到模型。

此篇完。实际情况下,二向应力状态最常见,也用得最多,下篇文章我们将讨论用解析法进行二向应力分析。


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